ELECTROMAGNETISMO: CALCULO VECTORIAL - EXPLICACIONES BÁSICAS

CAMPO MAGNÉTICO

F= qv x B
*f: fuerza
*v: velocidad
*B: campo magnético
(Tanto f como v y B son magnitudes vectoriales y el producto vectorial es un producto vectorial que tiene como resultante un vector perpendicular tanto a v como a B)
LA FUERZA RESULTANTE SERÁ =

$|\mathbf{F}| = q|\mathbf{v}||\mathbf{B}|\cdot \mathop{\sin} \theta$

FUENTES DE CAMPO MAGNETICO

Producido por una carga puntual:

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(q\mathbf{v})\times \hat\mathbf{u}_r}{r^2}$

Donde $\mu_0=4 \pi \cdot 10^{-7}\frac{\mbox{N}}{\mbox{A}^2}$ . Esta última expresión define un campo vectorial solenoidal:

Un campo solenoidal es un campo vectorial v cuya divergencia es cero:

$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

Esta condición se satisface si v es derivable de un potencial vector, por ejemplo A, ya que:

$\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}$

Ya que entonces se cumple automáticamente que:

$\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$

La afirmación contrarrecíproca también es cierta gracias a un teorema de Poincaré, si v es solenoidal en algún punto entonces localmente el campo es expresable como el rotacional de un campo vector.

PROPIEDADES DEL CAMPO MAGNÉTICO

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

A su vez este potencial vector puede ser relacionado con el vector densidad de corriente mediante la relación:

$\Delta \mathbf{A} = \mu \mathbf{j}$

LEY DE BIOT-SAVART

En el caso de corrientes que circulan por circuitos filiformes (o cerrados), la contribución de un elemento infinitesimal de longitud dL del circuito recorrido por una corriente I crea una contribución elemental de campo magnético, dB, en el punto situado en la posición que apunta el vector Ur a una distancia R respecto de dL , quien apunta en dirección a la corriente I:

$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec l \times \hat{r}}{r^2}$

*μ₀: es la permeabilidad magnética del vacío.
* $\hat{r}$ : es un vector unitario.

En el caso de corrientes distribuidas en volúmenes, la contribución de cada elemento de volumen de la distribución, viene dado por:

$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec J \times \vec R}{r^3} dv$

* $\vec{J}$ es la densidad de corriente en el elemento de volumen.

* dv y $\vec{R}$ es la posición relativa del punto en el que queremos calcular el campo, respecto del elemento de volumen en cuestión.

Se aplica el principio de superposición a través de la expresión:

$\vec B = \int d\vec{B}$

GENERALIZADA:

$\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dV}$

* $\ dV$ : es el elemento diferencial de volumen.

* $K_m = \frac{\mu_0}{4\pi}$ : es la constante magnética.

LEY DE AMPÉRE

Forma integral

Dada una superficie abierta S por la que atraviesa una corriente eléctrica I, y dada la curva C, curva contorno de la superficie S, la forma original de la ley de Ampère para medios materiales es:

$\oint_C \vec{H} \cdot d\vec{l} = \int\!\!\!\!\int_S \vec{J} \cdot d \vec{S} = I_{\mathrm{enc}}$

donde:

* $\vec{H}$ : es el campo magnético.

* $\vec{J}$ : es la densidad de corriente eléctrica.

* $I_{\mathrm{enc}} \,$ . es la corriente encerrada en la curva C.

Y se lee: La circulación del campo $\vec{H}$ a lo largo de la curva C es igual al flujo de la densidad de corriente sobre la superficie abierta S, de la cual C es el contorno.

En presencia de un material magnético en el medio, aparecen campos de magnetización, propios del material, análogamente a los campos de polarización que aparecen en el caso electrostático en presencia de un material dieléctrico en un campo eléctrico.
Definición:

$\vec{H}= \frac {\vec{B}} {\mu_0} - \vec{M}$